高斯消元法的简介

数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数规划中的一个算法，可用来为线性方程组求解。但其算法十分复杂，不常用于加减消元法，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。不过，如果有过百万条等式时，这个算法会十分省时。一些极大的方程组通常会用迭代法以及花式消元来解决。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。亦有一些方法特地用来解决一些有特别排列的系数的方程组。

代码实现

#include <stdio.h>
#include <math.h>
int n=4; //未知数个数

int main(void)
{
   double a[n][n+1];
   int f=1;
   int bj=0;
   double count;
   int f1=1;
   double bs;
   double x[n];
   //输入矩阵元素
   for (int i = 0; i < n; i++)
   {
     printf("请输入第 %d 行",i+1);
     for (int j = 0; j < n+1; j++)
     {
        scanf("%lf",&a[i][j]);
     }
   }
   //转换为上三角矩阵
   for (int i = 0; i < n; i++)
   {
    f=1;
    //保证对角线非0
    if(a[i][i]==0)
    {
        f=0;
        for (int k = i+1; k < n; k++)
        {
        
            if(a[k][i] != 0) 
            {            
                bj=k;
                f=1;
            }   
        }
    if (f==1)
    {
       //交换行
       for (int q = 0; q < n+1; q++)
        {
            count=a[bj][q];
            a[bj][q]=a[i][q];
            a[i][q]=count;
        }
    }
    else printf("erro");
    }
    //消元
    for (int k = i+1; k < n; k++)
    {
        bs=a[k][i]/a[i][i];
        for (int j = 0; j < n+1; j++)
        {
            a[k][j]=a[k][j]-bs*a[i][j];
        }
        
    }
    
    
   }
   //输出上三角矩阵
   printf("上三角矩阵为：\n");
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n+1; j++)
        {
            printf("%.3lf ",a[i][j]);
        }
        printf("\n");
    } 
   //求解
   for (int i = n-1; i >=0; i--)
   {
    count=a[i][n];
    for (int j= i+1; j<n ;j++)
    {
        count-=a[i][j]*x[j];  
    }
    x[i]=count/a[i][i];
   }
   //输出解
   printf("解为：\n");
   for (int i = 0; i < n; i++)
   {
    printf("x[%d]=%.3lf\n",i+1,x[i]);
   }
      
}

代码优化

对代码进行模块化处理，利于修改。

输入矩阵元素

void inputMatrix(double a[MAX_SIZE][MAX_SIZE + 1], int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("请输入第%d 行:", i + 1);
        for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
            scanf("%lf", &a[i][j]);
        }
    }
}

高斯消元

void gaussianElimination(double a[MAX_SIZE][MAX_SIZE + 1], int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int f = 1;
        int bj = 0;
        double count;
        double bs;
        // 确保对角元素非零
        if (a[i][i] == 0) {
            f = 0;
            for (int k = i + 1; k < n; k++) {
                if (a[k][i] != 0) {
                    bj = k;
                    f = 1;
                }
            }
            if (f == 1) {
                // 交换行
                for (int q = 0; q < n + 1; q++) {
                    count = a[bj][q];
                    a[bj][q] = a[i][q];
                    a[i][q] = count;
                }
            } else {
                printf("Error: Diagonal element is zero, unable to perform Gaussian elimination.");
                return;
            }
        }
        // 消元
        for (int k = i + 1; k < n; k++) {
            bs = a[k][i] / a[i][i];
            for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
                a[k][j] = a[k][j] - bs * a[i][j];
            }
        }
    }
}

求解

void backSubstitution(double a[MAX_SIZE][MAX_SIZE + 1], int n, double x[MAX_SIZE]) {
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        double count = a[i][n];
        for (int j = i + 1; j < n; j++) {
            count -= a[i][j] * x[j];
        }
        if (fabs(a[i][i]) < 1e-10) {
            printf("Error: Singular matrix, back substitution not possible.");
            return;
        }
        x[i] = count / a[i][i];
    }
}

打印矩阵

void printMatrix(double a[MAX_SIZE][MAX_SIZE + 1], int n) {
    printf("上三角矩阵为：\n");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
            printf("%.3lf ", a[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

打印解

void printSolution(double x[MAX_SIZE], int n) {
    printf("解为：\n");
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("x[%d]=%.3lf\n", i + 1, x[i]);
    }
}

主函数

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define MAX_SIZE 4 //未知数个数
void inputMatrix(double a[MAX_SIZE][MAX_SIZE + 1], int n);
void gaussianElimination(double a[MAX_SIZE][MAX_SIZE + 1], int n);
void backSubstitution(double a[MAX_SIZE][MAX_SIZE + 1], int n, double x[MAX_SIZE]);
void printMatrix(double a[MAX_SIZE][MAX_SIZE + 1], int n);
void printSolution(double x[MAX_SIZE], int n);
int main(void) {
    double a[MAX_SIZE][MAX_SIZE + 1];
    double x[MAX_SIZE];
    inputMatrix(a, MAX_SIZE);
    gaussianElimination(a, MAX_SIZE);
    printMatrix(a, MAX_SIZE);
    backSubstitution(a, MAX_SIZE, x);
    printSolution(x, MAX_SIZE);
    return 0;

总结

以上便是基于c++的应用高斯消元法求解线性方程组的全过程。

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